- La era digital
- Los circuitos electrónicos digitales
- Sistemas de numeración
- Niveles lógicos en las señales digitales
- En el interior de los microchips
- Elementos de un circuito digital
- Puertas lógicas
- Álgebra de Boole
- Diseño de circuitos con puertas NAND y NOR
- Métodos de obtención de funciones lógicas
La era digital
Vivimos en un mundo digital: televisión digital, radio digital, circuitos digitales…Es la era digital. Significa que TODO son números. Toda la información que recibimos son números. Las imágenes que nos llegan por la televisión son en realidad números. Los sonidos que escuchamos son números. Las Apps que ejecutamos en nuestros móviles son números.
Internet es una red digital de comunicaciones.
Que sea digital significa que está especializada en números. Es una red que trabaja con números. ¡Y sólo con números!
Internet realiza 3 operaciones básicas con los números:
- Transporte
- Almacenamiento y
- Manipulación
La principal ventaja de las redes digitales es que pueden trabajar potencialmente con cualquier tipo de señal.
Esto nos garantiza que si en el futuro se usan señales nuevas: olfativas, mentales… también se podrán enviar por internet. El único requisito es que se tienen que convertir a números. Y una vez que son números, para la red será igual que el resto de números provenientes de señales ya conocidas: audio, vídeo…
Otra ventaja es que los números «no se desgastan» al transportarlos, y se pueden copiar muy fácilmente. La copia de un número es exactamente igual al original.
Pero es que además, gracias al segundo teorema de Nyquist, tenemos garantizado matemáticamente que cualquier señal analógica se puede convertir a números y posteriormente ser reconstruidas. De esta forma, tenemos garantizado que cualquier señal la podemos inyectar en nuestras redes digitales.
Los circuitos electrónicos digitales
Los circuitos electrónicos digitales son aquellos que manipulan, almacenan y transportan números.
Están integrados dentro de los microchips.
Normalmente se construyen mediante la unión de varios de estos microchips.
El esquema de su funcionamiento es muy simple: al circuito llegan números por su entrada. Dentro del circuito, estos números se manipulan, almacenan y transportar y se obtienen como resultado otros números que se sacan por la salida.
Normalmente se construyen mediante la unión de varios de estos microchips. El esquema de su funcionamiento es muy simple: al circuito llegan números por su entrada. Dentro del circuito, estos números se manipulan, almacenan y transportar y se obtienen como resultado otros números que se sacan por la salida.
Los números estamos acostumbrados a representarlos en el sistema decimal, donde usamos los 10 dígitos: 0,1,3,4,5,6,7,8 y 9. Sin embargo, cualquier número se puede representar en binario, usando sólo 2 dígitos: 0 y 1.
De esta manera, todo son números, y todos los números se pueden representar como 0’s y 1’s, por tanto, todo se puede representar al final en binario. ¡¡Todo son 0’s y 1’s!! Los dígitos de un número binario se denominan bits. En realidad, un bit, es algo que puede estar en dos estados: 0-1, y que puede representar cosas como encendido-apagado, blanco-negro, par-impar, verdadero-falso, todo-nada.
Sistemas de numeración
Un sistema numérico es el conjunto ordenado de símbolos o dígitos y las reglas con que se combinan para representar cantidades numéricas. Existen diferentes sistemas numéricos, cada uno de ellos se identifica por su base.
- Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación de otros y que representa un entero positivo.
- Un bit es un dígito binario (binary digit), es decir, un 0 ó un 1.
- La base es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.
| Sistema | Base | Dígitos |
|---|---|---|
| Binario | 2 | 0, 1 |
| Octal | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 |
| Decimal | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Hexadecimal | 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F |
Teorema fundamental de la numeración
El valor decimal de una cantidad expresada en otro sistema de numeración viene dado por la siguiente expresión:
Ejemplo: ¿Cuál es el valor binario del número decimal 0,1810?
325,6 = 3·102+2·101+5·100+6·10-1
Ejemplo: Expresar el valor binario 1101,01 al sistema decimal:
1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1 = 13,5
Ejemplo: Expresar el valor 28 hexadecimal al sistema decimal:
2·161+8·160 = 40
Sistema binario
Es el sistema de numeración de base 2. Utiliza dos dígitos (bits): el 0 y el 1.
Con un número binario de n bits se pueden representar 2n valores distintos, desde el 0 hasta el 2n-1.
Ejemplo: Con 5 bits podemos representar 25 (32) números distintos (del 0 al 31).
En un número binario entero el primer bit (el bit de más a la derecha) es el menos significativo (LSB) o de menor peso (20); el bit de más a la izquierda es el más significativo (MSB) o de mayor pero (2n).
Ejemplo: ¿Cuál es el valor decimal del número binario 110012?
110012 = 1·24+1·23+0·22+0·21+1·20 = 1·16+1·8+0·4+0·2+1·1 = 2510
Para convertir un número decimal a binario se realiza la división continuada por 2 hasta que el cociente sea cero. Los restos obtenidos en los diferentes pasos nos darán el número binario. Para ello se toman los dígitos obtenidos en los restos desde el último hasta el primero.
Ejemplo: ¿Cuál es el valor binario del número decimal 2510?
Si el número tiene parte decimal, vamos multiplicando por 2 la parte fraccionaria del número original, y sucesivamente repetimos el procedimiento con las partes fraccionarias de los números obtenidos; esto se repite hasta que la parte decimal del resultado sea cero o se haya obtenido la precisión requerida.
Ejemplo: ¿Cuál es el valor binario del número decimal 0,1810?
0,18 en decimal se representa como 0,00101
Códigos binarios numéricos
El proceso de hacer corresponder a cada símbolo del alfabeto fuente un código se denomina codificación, y al proceso inverso decodificación.
- El código BCD (Binary Codified Decimal, Decimal Codificado en Binario): Representan, por separado, cada una de las cifras que forman el número decimal. Utilizan 4 bits para codificar cada cifra decimal, por lo que de las 16 posibles combinaciones sólo utilizan 10 (una para cada cifra).
- El código BCD Natural: Utiliza 4 bits para representar a las cifras del 0 al 9. Es un código ponderado con asignación de pesos igual al binario natural, por eso también se llama BCD 8421 (8 = 23; 4 = 22; 2 = 21; 1 = 20).
Ejemplo: Convierte el número decimal 638 en BCD natural.
63810 = 6 (0110) 3 (0011) 8 (1000) = 011000111000BCD
6= 0·8+1·4+1·2+0·1
3 = 0·8+0·4+1·2+1·1
8 = 1·8+0·4+0·2+0·1
Niveles lógicos en las señales digitales
La electrónica digital trabaja con circuitos que sólo contemplan dos estados posibles, verdadero o falso, sí o no, que se representan por cifras binarias “1” y “0”.
La forma de convertir esta información en impulsos eléctricos es asignar a cada uno de estos dos estados o niveles lógicos una cierta tensión eléctrica.
Así, se pueden aplicar dos tipos de lógica:
- Lógica positiva: El “1” equivale a una tensión de nivel alto (High) y el “0” a una de tensión bajo (Low). Es la utilizada habitualmente.
- Lógica negativa: El “1” equivale a una tensión de nivel bajo (Low) y el “0” a una de tensión alto (High).
La forma más sencilla de representar dos niveles lógicos es la siguiente:
En el interior de los microchips
Si abrimos cualquier producto electrónico, nos encontraremos con que en su interior tiene uno o varios circuitos electrónicos. Son una serie de componentes y conectores soldados sobre una placa de circuito impreso (PCB) que típicamente es verde:
Uno de estos componentes son los circuitos integrados, también conocidos como microchips. Son el gran invento del siglo XX. Están disponibles en diferentes encapsulados y tamaños, y están soldados sobre el PCB:
Si abrimos el microchip, veremos que casi todo es encapsulado. Está formado por una base de la que salen las patas, que están conectadas a la parte interior mediante unas pistas de cobre:
En el centro está el dado, que es realmente donde está el circuito electrónico. Se puede apreciar que realmente el dado es muchísimo más pequeño que el chip completo, que casi todo es encapsulado:
El dado está compuesto por transistores unidos mediante pistas de metal. El tamaño de estos transistores es mucho más pequeño. Actualmente los transistores son de tecnología CMOS: están formados por la unión de metal-óxido y semiconductor:
La parte principal del transistor la forman los dos tipos de semiconductores (P y N), que se obtienen mediante la adición de impurezas al cristal de silicio. Su unión es la que dota al transistor de sus propiedades:
Y en el nivel inferior tenemos el átomo de silicio, que es el componente base de la electrónica actual:
Elementos de un circuito digital
Cualquier circuito digital, por muy complejo que sea, sólo está formado por tres elementos básicos: Los cables, para transportar bits, las puertas lógicas para manipularlos y los biestables para almacenarlos.
Puertas lógicas
Las puertas lógicas se consiguen gracias a los circuitos integrados, y constan de diferentes entradas y de una salida. A las entradas de los sistemas se les aplica uno de los dos niveles lógicos: “1” ó “0”, y en función del tipo de puerta utilizada, obtendremos a la salida uno de dichos niveles lógicos
Puerta inversora NOT
La manipulación más sencilla se realiza con la puerta NOT, que transforma un bit 1 en 0, y al contrario, un bit 0 en 1.
Esta puerta tiene una entrada por la izquierda, por donde entra un bit, y una salida por la derecha por donde aparece el bit invertido.
La función que realiza la puerta NOT es:
Puerta O (OR)
La OR es una de las tres puertas lógicas básicas, que nos permiten manipular y combinar bits.
Es una puerta de varias entradas. Para el caso de dos entradas, la salida obtenida es de nivel alto si cualquiera de sus entradas o ambas están a nivel alto, y su salida será de nivel bajo si ambas entradas están a nivel bajo.
Para representar las combinaciones de las entradas posibles y el nivel obtenido a la salida se utiliza la tabla de la verdad.
Para una puerta lógica con dos entradas, las combinaciones que se pueden conseguir en la tabla de la verdad son: 22 = 4.
Esta puerta lógica realiza la función “O”, conocida también con el nombre de suma.
Desde el punto de vista de la lógica: La salida S será verdadera cuando cualquiera de las entradas A o B lo sea.
Esta puerta se puede simular empleando interruptores. Se observa que la lámpara se enciende (S=1) si se cierra cualquiera de los dos interruptores, o ambos.
Simulación con falstad
Aquí lo puedes comprobar con la aplicación web falstad.
- Crea un nuevo circuito (Archivo>>New Blank Circuit).
- Dibuja (1), dentro de las Puertas Lógicas, Entrada y Salida las 2 Entradas lógicas (3) y la Salida lógica (4).
- Dibuja (1) la puerta lógica (5) OR.
Simulación con logic.ly
Aquí lo puedes comprobar con la aplicación web logic.ly.
- Arrastra un elemento de entrada, en este caso un interruptor (1).
- También necesitas un elemento de salida, en este caso una bombilla (2).
- Y elegir la puerta lógica, en este caso la puerta O (3).
Puerta Y (AND)
La AND es una de las tres puertas lógicas básicas, que nos permiten manipular y combinar bits.
Esta puerta lógica realiza la función Y, conocida también con el nombre de producto.
Observando todos los casos, vemos que la puerta AND se activa cuando su entrada superior está activada Y su entrada inferior también.
Si la simulamos con interruptores, la lámpara sólo se enciende (S=1) si se cierran ambos interruptores a la vez.
Simulación con falstad
Aquí lo puedes comprobar con la aplicación web falstad.
- Crea un nuevo circuito (Archivo>>New Blank Circuit).
- Dibuja, dentro de las Puertas Lógicas, Entrada y Salida las 2 Entradas lógicas y la Salida lógica.
- Dibuja la puerta lógica AND (Y).
Simulación con logic.ly
Aquí lo puedes comprobar con la aplicación web logic.ly.
Además de las puertas básicas que ya conocemos, AND, OR y NOT, existen otras que son muy usadas. Todas ellas las podemos definir a partir de sus tablas de verdad. Las versiones negadas de las puertas AND y OR se denominan, NAND y NOR respectivamente. Una característica de estas puertas es que permiten crear cualquier circuito lógico usando sólo el mismo tipo de puertas: bien puertas NAND, o bien puertas NOR.
El computador que realizó los cálculos de navegación en el Apolo 11, la nave que llevó al primer hombre a la luna, estaba hecho sólo con puertas NAND.
Puerta NO O (NOR)
Funcionalmente está formada por una puerta OR y una puerta NOT.
Su funcionamiento es el inverso de la puerta OR. Para el caso de dos entrada, la salida obtenida es de nivel alto sólo si ambas entradas están a nivel bajo.
Puerta NO Y (NAND)
Funcionalmente está formada por una puerta AND y una puerta NOT.
Su funcionamiento es el inverso de la puerta AND. Para el caso de dos entradas, la salida obtenida es de nivel algo sólo si alguna de las entradas está a nivel alto o ambas a la vez.
Hay otras dos puertas lógicas que se usan mucho en electrónica digital: la XOR y la XNOR. La XOR se denomina O-exclusivo. Funciona igual que una puerta OR salvo en el caso en el que las dos entradas son 1, cuya salida es 0 en vez de 1. Las puertas XOR se usan muchísimo para implementar circuitos aritméticos (como sumadores, por ejemplo) La puerta XNOR es una XOR negada, y se usa para comparar bits.
Puerta O exclusiva (XOR)
La salida obtenida en una puerta XOR es de nivel alto sólo cuando lo sea exclusivamente alguna de sus entradas.
La función que realiza la puerta XOR es:
Puerta NO XOR exclusiva (XNOR)
La puerta XNOR funcionalmente está formada por una puerta XOR y una puerta NOT.
Su funcionamiento es el inverso de la puerta XOR. La salida obtenida es de nivel alto si ambas entradas son iguales.
Álgebra de Boole
Es una estructura matemática formada por un conjunto de elementos sobre los que se definen unos operadores que permiten realizar operaciones matemáticas con dichos elementos.
El álgebra de Boole aplicada al diseño y análisis de circuitos digitales se denomina Álgebra de Boole bivalente o de conmutación, y está definida por un conjunto A de dos elementos (0 y 1) sobre los que se definen las operaciones internas suma lógica (+) y producto lógico (·).
Los elementos del álgebra de Boole se denominan elementos lógicos (el 0 lógico y el 1 lógico). Las funciones suma y producto lógicos se definen mediante la tabla de la verdad, en la que la fila expresa el valor que toma la expresión para cada una de las combinaciones posibles.
Aquí podemos ver los postulados del álgebra de Boole:
Diseño de circuitos con puertas NAND y NOR
En la práctica resulta muy útil el utilizar en los diseños lógicos solo un tipo de puerta, como el NAND o la NOR. Aunque esta acción aumenta el número de puertas utilizadas, tiene sus ventajas, ya que podemos aprovechar todas la puertas que vienen integradas en el chip y no será necesario disponer de todos los tipos de puertas para realizar un diseño.
Para las conversiones se utilizan las leyes de Morgan.
La obtención de puertas AND, OR, NAND y NOR de n entradas es posible ya que, tanto el producto como la suma lógica, cumplen la propiedad asociativa.
A continuación se muestra la obtención de puertas de 3 entradas con puertas de 2 entradas.
Métodos de obtención de funciones lógicas
Simplificación de puertas lógicas mediante el mapa de Karnaugh
El mapa de Karnaugh está formado por una tabla de 2n celdas, siendo n el número de variables que posea la función a simplificar.
Mapa de Karnaugh para 2 variables
Para 2 variables dibujaremos una tabla con 2n = 4 celdas, donde se escribirá el resultado de la función canónica o los términos de la tabla de la verdad que den como resultado un 1 en su salida.
- El método de simplificar consiste en agrupar los 1 adyacentes de 2 en 2 y en sentido horizontal o vertical.
- Para una función de dos variables si se consiguen dos 1 adyacentes se puede eliminar una de las variables.
- La variable que se mantiene es aquella que no cambia de valor en la agrupación de 1adyacentes, eliminándose el que cambia.
Ejemplo: Escribe la tabla de verdad y simplifica la siguiente función de salida:
La función simplificada quedaría así: S = A + B
Vamos a comprobarlo mediante logic.ly (en este caso la función de salida y la función simplificada):
Mapa de Karnaugh para 3 variables
Para 3 variables dibujaremos una tabla con 2n = 8 celdas, donde se escribirá el resultado de la función canónica resultado de la función canónica o los términos de la tabla de la verdad que den como resultado un 1en su salida.
Para una función de 3 variables si se consigue:
- Dos 1 adyacentes, se puede eliminar una de las variables.
- Cuatro 1 adyacentes, se puede eliminar dos de las variables.
- Ocho 1 adyacentes, el valor de la función es siempre 1.
La variable que se mantiene es aquella que no cambia de valor en la agrupación de 1 adyacentes, eliminándose la que cambia.
Ejemplo: Escribe la tabla de verdad y simplifica la siguiente función de salida:
La función simplificada quedaría así:
Mapa de Karnaugh para 4 variables
Para 4 variables dibujaremos una tabla con 2n = 16 celdas, donde se escribirá el resultado de la función canónica resultado de la función canónica o los términos de la tabla de la verdad que den como resultado un 1 en su salida.
Para una función de 3 variables si se consigue:
- Dos 1 adyacentes, se puede eliminar una de las variables.
- Cuatro 1 adyacentes, se puede eliminar dos de las variables.
- Ocho 1 adyacentes, se puede eliminar tres de las variables.
- Dieciséis 1 adyacentes, el valor de la función es siempre 1.
La variable que se mantiene es aquella que no cambia de valor en la agrupación de 1 adyacentes, eliminándose la que cambia.
Ejemplo: Escribe la tabla de verdad y simplifica la siguiente función de salida:
La función simplificada quedaría así:
Funciones incompletas
Hay circuitos lógicos con n entradas en los cuales sólo se dan unas cuantas combinaciones de las 2n posibles.
Las funciones incompletas son funciones cuyo valor puede ser indistintamente 1 ó 0 para algunas de las combinaciones de entrada, bien porque dichas combinaciones no vayan a darse nunca durante el funcionamiento del circuito, bien porque el valor de la función para dichas combinaciones sea indiferente.
Ejemplo: Circuito lógico que detecta si la cifra codificada en BCD es una cifra par (1) o no lo es (0).
Al ser el valor de entrada una cifra codificada en BCD, se necesitan 4 bits, lo que supone que se presenten 16 combinaciones posibles. Como en la práctica solo tenemos 10 cifras decimales, hay 6 combinaciones que no nos interesan porque no se darán nunca.
Para simplificar funciones incompletas hemos de considerar dichos valores indeterminados como 0 ó 1, según nos convenga para obtener la mayor simplificación posible.
Tecnología E Ingeniería 
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